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[cours-maths-dis.git] / partiels / S1_0905 / partiel_Mathsdis_S1_juin 2009.tex
1 \documentclass[12pt]{article}
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18 \usepackage{tabularx}
19 \usepackage{textcomp}
20 \usepackage{pst-all}
21
22 \title{
23 Partiel de mathématiques discrètes, semestre 1, juin 2009.\\
24 Durée : 3 heures.} 
25 \date{}
26 \geometry{hmargin=1.5cm, vmargin= 1.5cm}
27 \author{\sc{Couchot}, J.-F.}
28 \begin{document}
29 \maketitle
30
31
32
33 Les supports  de TDs et de TP sont autorisés; téléphones et calculatrices sont
34 interdits.
35
36 Q. 1. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall (x,y) \in E^2, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,x) \in G \Longrightarrow x = y$.
37 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
38
39 Q. 2. Un ordre sur $E$ est dit partiel si, lorsque l'on choisit deux éléments quelconques $x$ et $y$ dans $E$, alors $x$ est en relation avec $y$, ou $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
40
41 Q. 3. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, xy = 1 \}$ est une relation fonctionnelle.
42 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
43
44 Q. 4. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$.
45 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
46
47 Q. 5. $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow $ \og $x$ et $y$ ont le même reste dans une division par 2 \fg{} est une relation d'équivalence sur les entiers strictement positifs. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
48
49 Q. 6. $|$ (divisibilité) est une relation d'ordre totale dans $\mathds{N}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
50
51 Q. 7. $(\mathds{R},\leqslant)$ est un ensemble ordonné.
52 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
53
54 Q. 8. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, symétrique et transitive. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
55
56 Q. 9. $|$ (relation de divisibilité) est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{N}$.
57
58 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
59
60 Q. 10. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle minorant de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
61
62 Q. 11. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique quand tout élément est en relation avec lui-même.
63 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
64
65 Q. 12. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Il est possible d'avoir $x \mathcal{R} y$ sans avoir $y \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
66
67 Q. 13. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$.
68 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
69
70 Q. 14. $|$ est une relation d'ordre dans $\mathds{Z}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
71
72 Q. 15. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall (x,y,z) \in E^3, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,z) \in G \Longrightarrow (x,z) \in G$.
73 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
74
75 Q. 16. \og $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $\sin(x) = \sin(y)$ \fg{} est une relation d'ordre sur l'ensemble des réels.
76 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
77
78 Q. 17. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle majorant de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$.
79 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
80
81 Q. 18. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, antisymétrique et transitive.
82 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
83
84 Q. 19. $\sqrt{} : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ est surjective.
85 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
86
87 Q. 20. Un ordre sur $E$ est dit partiel si, lorsque l'on choisit deux éléments quelconques $x$ et $y$ dans $E$, alors $x$ est en relation avec $y$, ou $y$ est en relation avec $x$.
88 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
89
90 Q. 21. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$.
91 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
92
93 Q. 22. Un ordre est dit total sur $E$ si tous les éléments de $E$ sont comparables entre eux.
94 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
95
96 Q. 23. Une application est une relation binaire particulière.
97 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
98
99 Q. 24. Une partie $A$ de $E$ est dite majorée s'il existe une borne supérieure pour $A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
100
101 Q. 25. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
102
103 Q. 26. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné. Il peut exister des parties de $E$ qui sont non majorées.
104 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
105
106 Q. 27. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \textrm{ et } y \mathcal{R} x \Longrightarrow x = y$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
107
108 Q. 28. \og $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $\sin(x) = \sin(y)$ \fg{} est une relation d'equivalence sur l'ensemble des réels. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
109
110 Q. 29. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
111 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
112
113 Q. 30. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \textrm{ et } y \mathcal{R} x \Longrightarrow x = y$.
114 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
115
116 Q. 31. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
117
118 Q. 32. L'égalité de deux entiers est une relation d'équivalence. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
119
120 Q. 33. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $E$ possède exactement une image dans $F$.
121 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
122
123 Q. 34. $\leqslant$ est une relation d'ordre total dans $\mathds{R}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
124
125 Q. 35. Les relations d'ordre sont les relations réflexive, antisymétrique et transitive.
126 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
127
128 Q. 36. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall (x,y) \in E^2, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,x) \in G \Longrightarrow x = y$.
129 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
130
131 Q. 37. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective.
132 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
133
134 Q. 38. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
135
136 Q. 39. Une partie $A$ de $E$ est dite majorée s'il existe un minorant pour $A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
137
138 Q. 40. 
139 Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
140 $g:B \rightarrow C$ et
141 $h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivant
142
143 \begin{center}
144 \pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
145 \scalebox{1}{
146 \cnodeput*(0,4){a}{a}
147 \cnodeput*(0,3){b}{b}
148 \cnodeput*(0,2){c}{c}
149 \cnodeput*(2,4){1}{1}
150 \cnodeput*(2,3){2}{2}
151 \cnodeput*(2,2){3}{3}
152 \cnodeput*(4,4){x}{x}
153 \cnodeput*(4,3){y}{y}
154 \cnodeput*(4,2){z}{z}
155 \cnodeput*(4,1){w}{w}
156 \cnodeput*(6,4){4}{4}
157 \cnodeput*(6,3){5}{5}
158 \cnodeput*(6,2){6}{6}
159
160 \rput(-0.2,5.2){$A$}
161 \rput(1.8,5.2){$B$}
162 \rput(3.8,5.2){$C$}
163 \rput(5.8,5.2){$D$}
164
165 \rput(1,0.5){$f$}
166 \rput(3,0.5){$g$}
167 \rput(5,0.5){$h$}
168
169
170 \psellipse(0,3)(0.5,2)
171 \psellipse(2,3)(0.5,2)
172 \psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
173 \psellipse(6,3)(0.5,2)
174
175 \ncline{->}{a}{2}
176 \ncline{->}{b}{1}
177 \ncline{->}{c}{2}
178 \ncline{->}{2}{x}
179 \ncline{->}{1}{y}
180 \ncline{->}{3}{w}
181 \ncline{->}{x}{4}
182 \ncline{->}{z}{4}
183 \ncline{->}{y}{6}
184 \ncline{->}{w}{5}
185    }
186  \endpspicture
187 \end{center}
188
189 $h \circ g$ est-elle surjective?
190
191 Q. 41. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$.
192 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
193
194 Q. 42. $(\mathcal{P}(E),\subset)$ est un ensemble ordonné.
195 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
196
197 Q. 43. $(\mathds{Z},|)$ est un ensemble ordonné.
198 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
199
200 Q. 44. Soit $R$ la relation dans $A=\{1,2,3,4\}$ définie par
201 $R=\{(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),\}$.
202 A-t-on  $R\circ
203 R = \{(1,3)\times(1,3), (1,3)\times(1,4),(1,3)\times(3,2),
204 \ldots,(3,3)\times(3,4),(3,4)\times(3,4)\}$?
205  
206
207 Q. 45. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
208 dans le diagramme cartésien:
209 \begin{center}
210 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
211 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
212 %\psgrid
213 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
214 \savedata{\mydata}[
215 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
216 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
217 \end{pspicture}
218 \end{center}
219
220 Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il
221 $\{1,2,4,5\}$?
222  
223
224 Q. 46. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive lorsque, si $x$ est en relation avec $y$, et si $y$ l'est avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
225
226 Q. 47. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
227
228 Q. 48. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
229
230 Q. 49. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle minimum de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
231
232 Q. 50. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $$\forall (x,y,z) \in E^3, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,z) \in G \Longrightarrow (x,z) \in G$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
233
234 Q. 51. Une partie $A$ peut être non majorée, mais admettre quand même un élément maximum.
235 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
236
237 Q. 52. Un ordre est dit partiel sur $E$ si tous les éléments de $E$ sont comparables entre eux.
238 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
239
240 Q. 53. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
241
242 Q. 54. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble de départ possède au plus une image. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
243
244 Q. 55. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$). L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
245
246 Q. 56. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$.
247 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
248
249 Q. 57. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$). L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
250
251 Q. 58. 
252 Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
253 $:g:B \rightarrow C$ et
254 $h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivant
255
256 \begin{center}
257 \pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
258 \scalebox{1}{
259 \cnodeput*(0,4){a}{a}
260 \cnodeput*(0,3){b}{b}
261 \cnodeput*(0,2){c}{c}
262 \cnodeput*(2,4){1}{1}
263 \cnodeput*(2,3){2}{2}
264 \cnodeput*(2,2){3}{3}
265 \cnodeput*(4,4){x}{x}
266 \cnodeput*(4,3){y}{y}
267 \cnodeput*(4,2){z}{z}
268 \cnodeput*(4,1){w}{w}
269 \cnodeput*(6,4){4}{4}
270 \cnodeput*(6,3){5}{5}
271 \cnodeput*(6,2){6}{6}
272
273 \rput(-0.2,5.2){$A$}
274 \rput(1.8,5.2){$B$}
275 \rput(3.8,5.2){$C$}
276 \rput(5.8,5.2){$D$}
277
278 \rput(1,0.5){$f$}
279 \rput(3,0.5){$g$}
280 \rput(5,0.5){$h$}
281
282
283 \psellipse(0,3)(0.5,2)
284 \psellipse(2,3)(0.5,2)
285 \psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
286 \psellipse(6,3)(0.5,2)
287
288 \ncline{->}{a}{2}
289 \ncline{->}{b}{1}
290 \ncline{->}{c}{2}
291 \ncline{->}{2}{x}
292 \ncline{->}{1}{y}
293 \ncline{->}{3}{w}
294 \ncline{->}{x}{4}
295 \ncline{->}{z}{4}
296 \ncline{->}{y}{6}
297 \ncline{->}{w}{5}
298    }
299  \endpspicture
300 \end{center}
301
302 On ne peut pas déduire du schéma des propriétés de $h \circ h$.
303
304 Q. 59. 
305 Dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, .et $\overline{~}$, on considère l'expression 
306 $E=\overline{a}(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)$. La version la plus réduite de $E$ est $\overline{a}bcde$.
307  L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
308
309 Q. 60. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
310 dans le diagramme cartésien:
311 \begin{center}
312 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
313 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
314 %\psgrid
315 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
316 \savedata{\mydata}[
317 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
318 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
319 \end{pspicture}
320 \end{center}
321
322 Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il $\{1,2,3,4,5\}$?
323  
324
325 Q. 61. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
326
327 Q. 62. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive quand tout élément est en relation avec lui-même.
328 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
329
330 Q. 63. $\sqrt{} : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
331
332 Q. 64. $|$ (relation de divisibilité) est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{N}$.
333 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
334
335 Q. 65. L'égalité de deux entiers est une relation d'équivalence.
336 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
337
338 Q. 66. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, symétrique et transitive.
339 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
340
341 Q. 67. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive quand tout élément est en relation avec lui-même. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
342
343 Q. 68. 
344 Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$. 
345 $W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :
346
347 \begin{center}
348 \pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
349 \scalebox{1}{
350 \cnodeput*(0,6){1}{1}
351 \cnodeput*(3,6){2}{2}
352 \cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
353 \cnodeput*(0,3){4}{4}
354 \cnodeput*(3,3){5}{5}
355 \cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
356 \cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
357 \cnodeput*(3,0){8}{8}
358
359
360 \psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)
361
362 \ncline{->}{8}{6}   
363 \ncline{->}{8}{7}      
364 \ncline{->}{6}{4}   
365 \ncline{->}{6}{5}      
366 \ncline{->}{7}{5}   
367 \ncline{->}{4}{3}      
368 \ncline{->}{5}{3}   
369 \ncline{->}{3}{1}      
370 \ncline{->}{3}{2}   
371
372
373    }
374  \endpspicture
375
376
377 \end{center}
378
379 \{1,2,3\} est l'ensemble des majorants de $V$ . Vrai ou Faux?  
380
381 Q. 69. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$.
382 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
383
384 Q. 70. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$.
385 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
386
387 Q. 71. $\leqslant$ est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{R}$.
388 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
389
390 Q. 72. 
391 Soit $t_1$ et $t_2$ deux termes exprimés dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, .et $\overline{~}$.
392 Si $t_1 +  t_2 = 1$ alors $t_1$ = 1  et $t_2$ a une valeur quelconque, et vice versa.
393  L'assertion proposée est vraie ou fausse?
394  
395
396 Q. 73. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective.
397 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
398
399 Q. 74. On appelle élément maximum de $A$ un élément de $A$ qui est majorant de $A$.
400 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
401
402 Q. 75. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
403 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
404
405 Q. 76. Une application bijective est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
406
407 Q. 77. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
408 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
409
410 Q. 78. Soit une relation d'ordre sur $E$, de graphe $G$. Cette relation d'ordre est dite totale si $\forall x,y \in E, (x,y)\in G$ ou $(y,x) \in G$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 
411
412 Q. 79. 
413 Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$. 
414 $W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :
415
416 \begin{center}
417 \pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
418 \scalebox{1}{
419 \cnodeput*(0,6){1}{1}
420 \cnodeput*(3,6){2}{2}
421 \cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
422 \cnodeput*(0,3){4}{4}
423 \cnodeput*(3,3){5}{5}
424 \cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
425 \cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
426 \cnodeput*(3,0){8}{8}
427
428
429 \psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)
430
431 \ncline{->}{8}{6}   
432 \ncline{->}{8}{7}      
433 \ncline{->}{6}{4}   
434 \ncline{->}{6}{5}      
435 \ncline{->}{7}{5}   
436 \ncline{->}{4}{3}      
437 \ncline{->}{5}{3}   
438 \ncline{->}{3}{1}      
439 \ncline{->}{3}{2}   
440
441
442    }
443  \endpspicture
444
445
446 \end{center}
447
448 Les éléments 6 et 8 sont les minorants de $V$ . Vrai ou Faux?  
449
450 Q. 80. 
451 Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$. 
452 $W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :
453
454 \begin{center}
455 \pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
456 \scalebox{1}{
457 \cnodeput*(0,6){1}{1}
458 \cnodeput*(3,6){2}{2}
459 \cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
460 \cnodeput*(0,3){4}{4}
461 \cnodeput*(3,3){5}{5}
462 \cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
463 \cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
464 \cnodeput*(3,0){8}{8}
465
466
467 \psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)
468
469 \ncline{->}{8}{6}   
470 \ncline{->}{8}{7}      
471 \ncline{->}{6}{4}   
472 \ncline{->}{6}{5}      
473 \ncline{->}{7}{5}   
474 \ncline{->}{4}{3}      
475 \ncline{->}{5}{3}   
476 \ncline{->}{3}{1}      
477 \ncline{->}{3}{2}   
478
479
480    }
481  \endpspicture
482
483
484 \end{center}
485
486 L'élément 8 est le seul minorant de $V$ . Vrai ou Faux?  
487
488 \end{document}